Lois de Kirchhoff : théorie et mise en pratique !

Loi de Kirchhoff première et deuxième, détail loi des mailles et loi des noeuds sur circuit électronique, tension ou intensité d'une branche boucle électrique

Les lois de Kirchhoff sont des expressions physiques, caractérisant la conservation de l’énergie dans un circuit électrique. Celles-ci sont au nombre de deux :

  • La loi des nœuds (1ère loi de Kirchhoff)
  • La loi des mailles (2nde loi de Kirchhoff)

Ces lois, incontournables en électronique, et permettent respectivement de déterminer :

  • L’intensité circulant dans chaque branche d’un circuit électrique, à partir des autres → c’est la « loi des nœuds »
  • Et la tension aux bornes d’un composant électronique (ou partie), à partir des autres, lorsque mis en boucle (en série et jointe bout à bout, si vous préférez) → c’est la « loi des mailles »

Ces lois sont vraiment fondamentales, au même titre que la loi d’ohm, et nécessitent d’être bien comprises avant d’aller plus loin en électronique. Aujourd’hui, je vous propose de les découvrir (ou de les redécouvrir !), avec plusieurs exemples d’applications concrètes de ces lois, en guise d’exercices pratiques ! Alors en avant 😉

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Comme toujours : n’étant ni enseignant, ni ingénieur, ni spécialiste ou professionnel en la matière, je vous partage seulement ici mes connaissances, et mon expérience personnelle, sur le sujet. Il se peut donc qu’il y ait des coquilles qui se soient glissées dans le présent article. Si c’est le cas, n’hésitez pas à m’en faire part en zone commentaires, afin que je puisse les corriger rapidement. Merci à vous !

[Théorie] Loi des nœuds

Pour faire simple, je dirais que la loi des nœuds se résume en une phrase : la somme des courants entrants en un point (nœud), est égale à la somme des courants sortants (du nœud). En clair : rien ne se perd, rien de se crée, donc tout ce qui entre en un point, doit en sortir 😉

Pour bien comprendre comment se traduit cette « phrase » en pratique, je vous propose de voir ensemble un exemple en image, vous montrant une portion de circuit fictif :

Exemple loi des noeuds pour déterminer courant entrant sortant dans branche de circuit électrique, mise en application lois de Kirchhoff d'électronique

Si on se réfère à cette image, et au sens des flèches indiquées dessus (indiquant le sens du courant, dans cet exemple là), on remarque tout d’abord les choses suivantes :

  • i1 entre dans le nœud (point A)
  • i2 sort du nœud
  • i3 entre dans le nœud
  • i4 entre dans le nœud
  • i5 sort du nœud

Du coup, on peut dire que :

  • La somme des courants ENTRANT dans le nœud est égale à : i1 + i3 + i4
  • La somme des courants SORTANT du nœud est égale à : i2 + i5

Et comme la somme des courants entrants dans un nœud (ici le point A) est égale à la somme des courants sortants, on en déduit que :

→ Somme des courants entrant = Somme des courants sortants
→ d’où : i1 + i3 + i4 = i2 + i5

Et c’est « cela », qu’on appelle la loi des nœuds ! C’est-à-dire la transcription algébrique des courants qui entrent et sortent en un point donné. Et comme vous l’aurez compris, il faut bien regarder le sens des flèches pour écrire cette équation !

Erreur à ne pas faire : ne vous faites pas leurrer par le positionnement de chaque branche, étant ici soit à gauche du point A, soit à droite. Car SEUL le sens des flèches sur chaque branche vous indique quels courants ENTRENT, et lesquels SORTENT. En clair, ne faites pas l’erreur de croire que la somme des courants traversant les « fils » situés à gauche serait égale à celle des « fils » situés à droite. Car c’est généralement FAUX, comme l’illustre bien cet exemple !

À noter que j’ai pris ici un exemple à 5 branches, mais qu’il y aurait pu en avoir bien plus, ou bien moins. Dans tous les cas, sauf exception, la « loi des nœuds » s’applique, à partir du moment où vous considérez un point particulier (nœud) d’un circuit électrique, et que vous observez tout ce qui « entre » ou « sort » de celui-ci.

[Théorie] Loi des mailles

Seconde loi de Kirchhoff à connaître : la loi des mailles. Ici, il s’agit non pas d’une loi qui s’applique aux courants, mais plutôt aux tensions présentes dans un circuit électrique. Par circuit électrique, j’entends une boucle ou une maille donnée, c’est-à-dire un ensemble d’éléments mis en série, formant quelque chose qui boucle sur lui-même.

Cette loi se résume grosso modo de la manière suivante : dans une maille (boucle donnée), la somme des tensions est nulle.

Là encore, pour vous l’expliquer, je vais vous proposer de voir ça sous forme graphique :

Exemple loi des mailles pour calculer tension dans circuit électrique, somme nulle des tensions dans une boucle, pratique pour apprendre la base de l'électronique

Pour écrire l’équation correspondante à la loi des mailles, qui dit que la somme des tensions d’une boucle est nulle, il faut tout d’abord prêter attention aux sens des flèches V1, V2, V3, V4, et V5, par rapport au sens de circulation dans la boucle (peu importe le sens qu’on prend, du moment qu’on circule toujours dans le même sens, pour écrire l’équation finale !).

Si vous regardez bien le sens des flèches V1 à V5, par rapport au sens de circulation que je vous ai proposé sur le schéma, en bleu, on peut dire que :

  • V1 est dans le sens de circulation
  • V2, V3, V4, et V5 sont dans le sens inverse du sens de circulation (leurs flèches sont « à l’envers » du « sens de marche »)

Du coup, si on décide de mettre un signe « + » lorsqu’on circule dans « le bon sens », et un signe « – » si on circule en contresens, cela donne l’équation suivante, pour ce circuit :

+ V1 – V2 – V3 – V4 – V5 = 0

Nota : si on avait circulé dans l’autre sens, l’équation aurait alors été « – V1 + V2 + V3 + V4 + V5 = 0 » (remarquez bien la présence du signe « – » devant V1), ce qui est exactement la même chose que ce qui est écrit ci-dessus. Car en faisant passer toutes les valeurs de l’autre côté du signe « = », cela donne : « 0 = V1 – V2 – V3 – V4 – V5 », ce qui est bien équivalent à ce qui avait été noté juste au-dessus !

Au passage, il n’est pas obligatoire de prendre la valeur V1 en premier, pour écrire l’équation. En fait, c’est vous qui choisissez le point de démarrage, et le sens de circulation qui vous plait. Car quelque soit le point d’origine, et le sens choisi, le résultat sera au final le même. Pour preuve, selon le point de départ et le sens de circulation, toutes ces équations sont équivalentes :

  • V1 – V2 – V3 – V4 – V5 = 0
  • – V2 – V3 – V4 – V5 + V1 = 0
  • – V3 – V4 – V5 + V1 – V2 = 0
  • – V4 – V5 + V1 – V2 – V3 = 0
  • – V5 + V1 – V2 – V3 – V4 = 0

Ainsi que :

  • – V1 + V2 + V3 + V4 + V5 = 0
  • V2 + V3 + V4 + V5 – V1 = 0
  • V3 + V4 + V5 – V1 + V2 = 0
  • V4 + V5 – V1 + V2 + V3 = 0
  • V5 – V1 + V2+ V3 + V4 = 0

Retenez donc juste qu’il suffit de :

  • Partir d’un point donné
  • Toujours tourner dans le même sens, en notant les tensions et leur sens au passage (avec un signe « + » ou « – », selon si le sens des flèches est dans le sens de circulation, ou en sens inverse)
  • Et ce, jusqu’à revenir au point de démarrage
  • Enfin, il suffit alors d’écrire la somme de ces tensions, avec leurs signes respectifs, et dire que c’est égal à zéro !

Cela étant dit, dites-vous également que la loi des mailles peut s’appliquer dans des schémas bien plus complexes, mettant en œuvre plusieurs mailles possibles. Voici un exemple en illustration, qui vous montre plusieurs mailles qui peuvent être considérées, indépendamment les unes des autres :

Exemple mailles de Kirchhoff dans un circuit électrique, application pratique de la loi des mailles avec résistances sur schéma électronique théorique

À présent, passons à la pratique !

[Pratique] Résistances en série : calcul de la résistance équivalente

Nous allons à présent passer à la pratique ! Pour commencer, nous allons déterminer la formule de calcul, permettant de dire quelle est la valeur équivalente à plusieurs résistances mises en série. Par contre, avant d’aller plus loin, sachez que nous allons ici utiliser la loi d’ohm. Pour ceux qui ne la connaissent pas, il s’agit ni plus ni moins que d’une formule permettant de déterminer la tension aux bornes d’une résistance, en fonction de sa valeur exprimée en « ohms » et du courant qui la traverse. En synthèse, la formule s’écrit : U = R * I, avec U la tension aux bornes de la résistance, R sa valeur en ohms, et I, le courant qui la traverse.

Prérequis : connaître la loi d’ohm
Application de : la loi des mailles

Prenons l’exemple suivant, et voyons comment déterminer la résistance équivalent à 3 résistances mises en série, en nous servant de la loi des mailles de Kirchhoff :

Combien vaut résistance en série, exemple de calcul de résistance équivalent à plusieurs mises à la suite, application loi des mailles de Kirchhoff en électronique

1) Exprimons V1 en fonction de R1 et i, en utilisant la loi d’ohm

U = R * I (loi d’ohm)
d’où V1 = R1 * i

2) Exprimons V2 en fonction de R2 et i, en procédant de la même manière

U = R * I (loi d’ohm)
d’où V2 = R2 * i

3) Exprimons V3 en fonction de R3 et i, de la même façon

U = R * I (loi d’ohm)
D’où V3 = R3 *i

4) Exprimons V en fonction de V1, V2, et V3, en utilisant la loi des mailles, appliquée au circuit

V – V1 – V2 – V3 = 0 (loi des mailles)
d’où V = V1 + V2 + V3
d’où V = R1 * i + R2 * i + R3 * i (en reprenant les résultats des 3 équations précédentes)
d’où V = (R1 + R2 + R3) * i

5) Exprimons V en fonction de Req et i, en utilisant à nouveau la loi d’ohm

U = R * I (loi d’ohm)
d’où V = Req * i

6) En reprenant les deux formules précédentes, à savoir : V = Req * I et V = (R1 + R2 + R3) * I, nous pouvons en déduire que :

V = V
d’où Req * i = (R1 + R2 + R3) * i
d’où Req = R1 + R2 + R3

Du coup, on peut dire que la résistance équivalente à plusieurs résistances mises en série est égale à la somme des valeurs de ces résistances. En bref : en série, les résistances s’additionnent !

[Pratique] Résistances en parallèle : quelle formule pour déterminer la résistance équivalente ?

Second exercice pratique : comment déterminer la résistance équivalente à plusieurs résistances mises en parallèle ? C’est ce que nous allons démontrer ici !

Prérequis : connaître la loi d’ohm
Application de : la loi des nœuds

Pour déterminer le résultat par calculs successifs, notamment à l’aide de la loi des nœuds de Kirchhoff, nous allons nous servir de l’exemple suivant, mettant en œuvre 3 résistances mises en parallèle :

Combien valent résistances mises en parallèle, calcul de résistance équivalente avec loi des noeuds de Kirchhoff, application électronique pratique débutant

1) Exprimons i1 en fonction de V et R1, en appliquant la loi d’ohm

U = R * I (loi d’ohm)
d’où V = R1 * i1
d’où i1 = V / R1

2) Exprimons i2 en fonction de V et R2, en procédant de la même manière

U = R * I (loi d’ohm)
D’où V = R2 * i2
D’où i2 = V / R2

3) Exprimons i3 en fonction de V et R3, de la même façon

U = R * I (loi d’ohm)
D’où V = R3 * i3
D’où i3 = V / R3

4) Exprimons i en fonction de i1, i2, et i3, en utilisant la loi des mailles de Kirchhoff, au point A

On remarque que le sens du courant i se dirige vers le point A, tandis que les autres s’en éloignent. On peut dont dire que :

  • La somme des courants ENTRANT au point A est égale à : i
  • La somme des courants SORTANT du point A est égale à : i1 + i2 + i3

Et comme la somme des courants ENTRANT est égale à la somme des courants SORTANT, d’après la loi des nœuds de Kirchhoff, on peut donc écrire :

Somme des courants entrant = Somme des courants sortant
d’où i = i1 + i2 + i3
d’où i = V/R1 + V/R2 + V/R3 (en se servant des 3 équations trouvées précédemment)
d’où i = V * (1/R1 + 1/R2 + 1/R3)

5) Exprimons i en fonction de Req et V, en utilisant à nouveau la loi d’ohm

U = R * I
d’où V = Req * i
d’où i = V / Req

6) Enfin, en nous servant des deux équations précédentes, à savoir i = V / Req et i = V * (1/R1 + 1/R2 + 1/R3), on peut en déduire que :

i = i
d’où V/Req = V * (1/R1 + 1/R2 + 1/R3)
d’où 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + 1/R3
d’où Req = 1 / (1/R1 + 1/R2 + 1/R3)

Ou représenté de manière plus visuelle, et de façon plus générale, on peut en déduire l’équation suivante :

Formule de calcul résistances en parallèle, valeur équivalente électronique, après démonstration avec loi de Kirchhoff, noeuds de courant et tension résistance

Le saviez-vous : il y a plusieurs choses « étonnantes », ou tout du moins remarquables, liées au fait de mettre des résistances en parallèle. En effet :
la résistance équivalente à plusieurs résistances mises en parallèle sera PLUS PETITE QUE LA PLUS PETITE des résistances. Par exemple : si vous mettez une résistance de 47, 560, et 330 ohms, alors la résistance équivalente sera plus petite que 47 ohms. C’est d’ailleurs un moyen rapide et efficace, pour vérifier ses valeurs après calcul.
aussi, si vous mettez 2 résistances en parallèle de même valeur, alors cela équivaudra à une seule résistance de valeur moitié moindre. Par exemple : si vous mettez deux résistances de 100 ohms en parallèle, alors ce sera équivalent à une seule résistance de 50 ohms.

[Pratique] Pont diviseur de tension : formule de calcul !

Troisième exercice pratique : le pont diviseur de tension. Ici, nous allons déterminer quelles sont les formules de calcul donnant la tension aux bornes d’une résistance, dans un diviseur de tension résistif.

Prérequis : connaître la loi d’ohm
Application de : la loi des mailles

Pour retrouver les formules de calcul, nous allons procéder par étape, comme les fois d’avant. Et pour ce faire, nous allons prendre en support le schéma suivant :

Exemple de pont diviseur de tension résistif, pour déterminer les équations de calcul des différences de potentiel aux bornes des résistances mises en série

1) Exprimons V1 en fonction de i et R1, en appliquant la loi d’ohm

U = R * I (loi d’ohm)
d’où V1 = R1 * i

2) Exprimons V2 en fonction de i et R2, de la même façon

U = R * I (loi d’ohm)
d’où V2 = R2 * i

3) Exprimons i en fonction de V, R1, et R2, en utilisant la loi des mailles

V – V1 – V2 = 0 (loi des mailles)
d’où V = V1 + V2
d’où V = R1i + R2i (en remplaçant V1 et V2 par les valeurs issues des 2 équations précédentes)
d’où V = i * (R1 + R2)
d’où i = V / (R1 + R2)

4) Exprimons i en fonction de R2 et V2, en réutilisant la loi d’ohm

U = R * I (loi d’ohm)
d’où V2 = R2 * i
d’où i = V2 / R2

5) Exprimons V2 en fonction de V, R1, et R2, à partir des équations trouvées aux points 3) et 4)

Pour rappel, au point 3) nous avons trouvé : i = V / (R1 + R2).
Et au point 4) nous avons trouvé : i = V2 / R2

En fusionnant ces deux formules, on trouve :
i = i
d’où V / (R1 + R2) = V2 / R2
d’où V2 = V * R2 / (R1 + R2)

6) Exprimons i en fonction de R1 et V1, d’après la loi d’ohm

U = R * I (loi d’ohm)
d’où V1 = R1 * i
d’où i = V1 / R1

7) Exprimons V1 en fonction de V, R1, et R2, à partir des équations déterminées aux points 3) et 6)

Pour mémoire, au point 3) nous avons trouvé : i = V / (R1 + R2).
Et au point 6) nous avons déterminé que : i = V1 / R1

En fusionnant ces deux formules, on trouve :
i = i
d’où V / (R1 + R2) = V1 / R1
d’où V1 = V * R1 / (R1 + R2)

Voilà pour la partie calculs !

Pour résumer, voici les deux équations trouvées (aux points #5 et #7), en image :

Formule calcul pont diviseur de tension avec 2 résistances, équation mathématique exprimant la différence de potentiel aux bornes de chaque résistance

Du reste, on peut exprimer ces équations de manière plus générale. Car si vous regardez les formules trouvées, vous trouverez d’étranges similitudes ! En effet, on s’aperçoit que la tension aux bornes d’une résistance dans un diviseur de tension est :

  • égale à la valeur de la tension totale,
  • multipliée par la valeur de la résistance, aux bornes de laquelle on souhaite connaitre la tension,
  • et divisée par la valeur de la somme des résistances, mises en série dans ce pont diviseur

En clair, on obtient la formule de calcul suivante, valable quel que soit le nombre de résistances mises en œuvre, dans un pont diviseur de tension :

Equation pont diviseur de tension avec plusieurs résistances, formule de calcul général pour déterminer tension de chaque résistance en série

Nota : si vous utilisez 2 résistances de même valeur dans un pont diviseur de tension, alors la tension aux bornes de chaque résistance sera égale à la tension d’alimentation du pont, divisée par deux. Si vous utilisez 3 résistances de même valeur, alors la tension aux bornes de chacune d’elle sera égale au tiers de la valeur de la tension d’alimentation du pont (V/3, donc !). Par conséquent, lorsque on utilise plusieurs résistances de valeur identique dans un pont diviseur de tension, on peut en déduire que la tension aux bornes de chaque résistance est égale à la tension d’alimentation du pont, divisée par le nombre de résistances !

Loi de Kirchhoff : conclusion !

Voici qui conclut cet article sur les lois de Kirchhoff. J’espère que vous aurez pu apprendre un maximum de choses ici, ou que cela vous ait permis de revoir certains fondamentaux… qu’on a tendance à parfois oublier, avec les années 😉

Si cela vous intéresse, je pourrais également vous faire d’autres tutos, sur les bases à connaître en électronique (le théorème de Millman, les ampli op, les filtres, …). En attendant, je vais continuer à vous faire des tutos pratiques, … qui sont bien moins barbant que la théorie, je vous l’accorde !

À bientôt !
Jérôme.

À découvrir aussi : les transistors mosfet, en pratique !

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(*) Mis à jour le 27/11/2021

2 commentaires sur “Lois de Kirchhoff : théorie et mise en pratique !”

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