Théorème de Millman : démonstration et applications, avec exercices corrigés

Le théorème de Millman fait partie des « outils mathématiques » de base de l’électronicien, c’est pourquoi je vous propose de le découvrir aujourd’hui. Et comme il est, en quelque sorte, la synthèse de la loi des branches et de la loi des nœuds (vu à l’occasion des lois de Kirchhoff), il sera donc nécessaire ici de connaître toutes ces lois avant tout (comme la loi d’ohm, d’ailleurs).

Nous verrons également plusieurs exemples d’applications pratiques (mélangeur audio, circuits à ampli op, convertisseur de tension, filtre RC), au travers d’exercices corrigés. Ainsi, vous pourrez donc, à la fois, apprendre à vous exercer à l’application du théorème de Millman, tout en découvrant des montages électroniques vraiment utiles, et concrets.

N’étant ni enseignant, ni ingénieur, ni même expert en ce domaine, il se peut que des coquilles se soient glissées dans le présent article. Si c’est le cas, n’hésitez pas à m’en faire part en zone commentaire, afin que j’apporte au plus vite les corrections nécessaires ! Merci à vous, par avance !

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Qu’est-ce que le théorème de Millman ? (explication, applications, …)

L’énoncé « général » du théorème de Millman dit la chose suivante : dans un circuit électrique, composé de multiples branches mises en parallèle, et constituées pour chacune d’elle d’une source de tension en série avec un élément linéaire, alors la tension en point milieu de ce circuit sera égale à la somme des tensions divisées par l’impédance de chacune des branches, le tout divisé par la somme des admittances ».

Avec :

• L’impédance, pour ceux qui en veulent une définition simple, qui est la résistance qu’oppose un élément, au passage d’un courant alternatif
• L’admittance qui est simplement l’inverse de l’impédance (c’est-à-dire : admittance = 1 / impédance)
• Les éléments linéaires qui peuvent être, par exemple, des résistances, condensateurs, ou inductances (bobines)

À noter que ce théorème reste valable aussi bien en courant continu, qu’en courant alternatif.

Bon… dit comme ça, tout ceci n’est pas forcément évident à comprendre ! C’est pourquoi, je vous propose un schéma illustratif, avec la « formule aboutie de Millman », si je puis dire 😉

Ainsi, le théorème de Millman permet de déterminer la valeur de la tension au point où se rejoignent toutes les branches, grâce à une formule « simple », et pratique.

Comme nous le verrons par la suite, les applications du théorème de Millman sont multiples. Et nous verrons comment nous en servir, notamment au travers de montages pratiques et utiles, tels qu’un :

• Convertisseur de tension
• Mélangeur de signaux (moyenneur de tensions)
• Filtre passif
• Ampli inverseur

Et bien entendu, les applications possibles de ce théorème ne se limitent pas à cela ! En bref, c’est vraiment une formule mathématique à connaître, tout autant que le cadre de son application d’ailleurs (éléments linéaires uniquement, pour rappel).

Démonstration du théorème de Millman avec les lois de Kirchhoff (formule)

Prérequis : connaître la loi d’ohm, la loi des mailles, et la loi des nœuds.

Histoire de ne pas balancer une telle formule sans démonstration, voici donc une manière de démontrer le théorème de Millman simplement, avec les lois de Kirchhoff (et je dis bien « une » manière, car il y en aurait bien évidemment d’autres !).

Pour ce faire, prenons comme support le montage suivant :

1) Exprimons V_R1 en fonction de V1 et de V_AB, V_R2 en fonction de V2 et de V_AB, et V_R3 en fonction de V3 et de V_AB (en utilisant la loi des branches)

V_AB = V1 + (-V_R1) (loi des branches, avec V_R1 « à l’envers »)
d’où V_R1 = V1 – V_AB          ==> équation 1a

V_AB = V2 + (-V_R2) (loi des branches, avec V_R2 « à l’envers »)
d’où V_R2 = V2 – V_AB          ==> équation 1b

V_AB = V3 + (-V_R3) (loi des branches, avec V_R3 « à l’envers »)
d’où V_R3 = V3 – V_AB          ==> équation 1c

2) Exprimons i1 en fonction de R1 et V_R1, i2 en fonction de R2 et V_R2, i3 en fonction de R3 et V_R3 (en appliquant la loi d’ohm)

U = R * I (loi d’ohm)
d’où V_R1 = R1 * i1
d’où i1 = V_R1 / R1              ==> équation 2a

U = R * I (loi d’ohm)
d’où V_R2 = R2 * i2
d’où i2 = V_R2 / R2              ==> équation 2b

U = R * I (loi d’ohm)
d’où V_R3 = R3 * i3
d’où i3 = V_R3 / R3              ==> équation 2c

3) Remplaçons les tensions V_R1, V_R2, et V_R3 des trois équations précédentes (point 2), par les valeurs trouvées au début (point 1)

i1 = V_R1 / R1 (équation 2a)
d’où, après remplacement de V_R1 par l’équation 1a :
i1 = (V1 – V_AB) / R1           ==> équation 3a

i2 = V_R2 / R2 (équation 2b)
d’où, après remplacement de V_R2 par l’équation 1b :
i2 = (V2 – V_AB) / R2           ==> équation 3b

i3 = V_R3 / R3 (équation 2c)
d’où, après remplacement de V_R3 par l’équation 1c :
i3 = (V3 – V_AB) / R3           ==> équation 3c

4) Appliquons la loi des nœuds au point A

La somme des courants entrants = la somme des courants sortants (loi des nœuds)
d’où 0 = i1 + i2 + i3          ==> équation 4

5) Remplaçons les courants i1, i2, et i3 de l’équation précédente (point 4), par leurs expressions respectives, trouvées au point 3

0 = i1 + i2 + i3 (équation 4)

d’où, après remplacement de i1/i2/i3 par les équations 3a/3b/3c :

Voilà qui nous permet de retomber sur la formule présentée en tout début d’article (ici exprimée pour un circuit à 3 branches, mais généralisable pour tout circuit à « n » branches).

Exercice corrigé #1 : circuit moyenneur de tensions (exemple de mélangeur audio / mixage)

Maintenant que nous avons vu et « démontré » le théorème de Millman, passons à son utilisation pratique ! Et pour commencer, je vous propose un schéma aussi simple que le précédent (quasi identique, à l’exception qu’ici, les 3 résistances auront une valeur identique). Bien entendu, le but sera ici de montrer l’utilité du théorème de Millman au travers d’un exemple concret, de montage électronique !

Pour ce faire, voici le schéma sur lequel je vous propose d’effectuer un premier exercice :

But de l’exercice : déterminer Vs en fonction de V1, V2, et V3

1) Exprimons le théorème de Millman au point « A »

2) Simplifions l’équation précédente, en multipliant par « R » au numérateur, ainsi qu’au dénominateur

Ainsi, comme vous pouvez le constater, ce circuit permet tout simplement de faire la moyenne entre toutes les tensions, présentes en entrée. C’est donc un montage « moyenneur de tension ».

Un exemple d’utilisation typique de ce montage est le « mélangeur audio passif ». En effet, celui-ci permet de mélanger plusieurs sources musicales, et ce, de manière entièrement passive (puisqu’il n’y a que des résistances, mises en œuvre). Bien sûr, il faudra considérer comme « déconnectées » les voies qui ne seront pas utilisées.

Pour illustrer cela, voici un exemple de mélangeur audio passif, permettant de mixer jusqu’à 4 sources en stéréo :

Et comme vu précédemment sur 3 branches, on pourrait ici appliquer le théorème de Millman en A (pour la voie de droite), ainsi qu’en B (pour la voie de gauche), en prenant les 4 branches possibles à chaque fois.

Au passage, les avantages d’un tel circuit sont nombreux, car : c’est un montage peu cher et rapide à réaliser (seulement quelques résistances, et quelques connecteurs jack stéréo), qui ne consomme aucun courant (puisque passif), et dont la bande passante est quasi illimitée (dans le spectre des fréquences audibles, aucun souci !). Donc, qu’espérer de mieux ? 😉

Exercice corrigé #2 : cas particulier, avec résistance SANS source de tension associée

Juste histoire de vous montrer un cas particulier, voici un montage quasi identique au précédent, en apparence, mais avec une résistance supplémentaire, mise directement à la masse (pour qui, on pourrait dire, qu’elle est « sans source de tension »).

D’après-vous ici, avant d’utiliser le théorème de Millman au point A :

• Faut-il prendre en compte cette résistance R4 ?
• Et si oui, comment qualifier le fait qu’elle « n’ait pas » de source de tension ?

But de l’exercice : déterminer Vs en fonction de V1, V2, et V3, puis comparer au résultat de l’exercice précédent (pour voir l’impact de la résistance R4, sur la tension de sortie)

Comme vous vous en doutez, on peut bien évidemment appliquer le théorème de Millman ici, en prenant en compte cette résistance R4 (sinon, je n’aurais pas pris la peine d’en parler si particulièrement !). Mais comment la considérer, du fait qu’elle n’est pas reliée à une source de tension, contrairement aux autres ?

En fait, il suffit de considérer que la masse branchée au bas de la résistance R4 est équivalente à une source de tension V4, dont la valeur serait égale à 0 volt. Voici d’ailleurs une façon de représenter cela :

Et là, on a bien 4 résistances (R, R, R, et R4) et 4 sources de tension (E1, E2, E3, et E4). On peut donc appliquer le théorème de Millman ici. Et tout simplement, la formule sera égale à :

Et comme V4 = 0, comme vu précédemment, on peut écrire que :

Si on multiplie ensuite au numérateur et au dénominateur par la valeur « R », on obtient alors :

Donc, au final :

Donc on voit que cette 4ème résistance impacte bien la tension en sortie, et que le théorème de Millman était applicable en prenant toutes les résistances présentes, même en l’absence de source de tension apparente !

Tout ça pour vous montrer qu’il ne faut pas oublier de prendre en considération tous les composants reliés à un circuit électronique, quand bien même ceux-ci sembleraient être « sans incidence majeure » sur son comportement ! Alors, n’oubliez jamais de bien prendre en compte tous les éléments interreliés, lorsque vous appliquez vos lois, ou théorèmes, lorsqu’il le faut 😉

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Exercice corrigé #3 : convertisseur de tension passif (positif/négatif)

À présent, nous allons voir encore une autre variante du montage précédent. Ici, non seulement une résistance est à la masse, mais une autre est mise au « +5V ». Et pour corser le tout, on va considérer que la tension V1 peut aller en territoire négatif 😉

Au passage, vous comprendrez pourquoi un tel montage est vraiment utile et pratique en électronique, à la fin ! Pour l’instant, considérons simplement le montage suivant :

But de l’exercice : appliquer le théorème de Millman au circuit présenté ci-dessus, afin de déterminer l’équation mathématique Vs en fonction de Ve ; et donner les valeurs de Vs pour Ve = -15V et Ve = +15V.

Pour commencer, voici ce que nous pouvons écrire ici :

• Étant donné que la résistance R2 est reliée au +5V, on peut dire que c’est comme si elle était reliée à une source de tension V2, égale à 5 volts
• Et étant donné que la résistance R3 est reliée au 0V, on peut dire que c’est comme si elle était reliée à une source de tension V3, égale à 0 volt

En effet :

Du coup, on peut écrire l’équation suivante, en appliquant le théorème de Millman en sortie :

Avec V2 = 5 volts, et V3 = 0 volt, comme vu précédemment. Du coup, l’expression écrite ci-dessus devient :

À partir de là, nous pouvons déterminer une expression du type « Vs = a * Ve + b ». Pour cela, il suffit de reprendre l’équation précédente, et de scinder le numérateur en deux parties :

On trouve bien ici une expression exprimée sous la forme :

Avec les valeurs de résistances présentées plus haut (R1 = 30k, R2 = 10k, et R3 = 15 k), on peut ainsi calculer les valeurs numériques de a et b :

• Valeur de `a = frac(1)(1 + 30000 / 10000 + 30000 / 15000) = frac(1)(1 + 3 + 2) = frac(1)(6)` → d’où `class{cmjx-highlight} { a = 0,1666667 }`

• Valeur de `b = frac(5)(1 + 10000 / 30000 + 10000 / 15000) = frac(5)(1 + 0,33333 + 0,66667) = frac(5)(2)` → d’où `class{cmjx-highlight} { b = 2,5 }`

Au final, on obtient l’équation numérique suivante, exprimant Vs en fonction de Ve :

Enfin, pour répondre aux questions posées en début d’exercice, à savoir :

• Quelle est la valeur de Vs quand Ve = -15V ?
  → Vs = 0,1666667 * (-15) + 2,5
  → d’où Vs = 0 volt
• Quelle est la valeur de Vs quand Ve = +15V ?
  → Vs = 0,1666667 * (15) + 2,5
  → d’où Vs = 5 volts

Donc, quand Ve = -15V alors Ve = 0 volts, et quand Ve = +15V alors Ve = 5 volts. On n’a donc bien une conversion de tension qui s’opère ici, « transformant » bien la tension d’entrée -15/+15 volts en 0/5 volts.

Et comme je vous disais en intro de cet exercice, ce montage est vraiment utile, et intéressant. C’est d’ailleurs un circuit très apprécié en électronique, lorsqu’on doit par exemple mesurer une tension aussi bien positive que négative, à l’aide d’un convertisseur analogique-numérique (ADC) de microcontrôleur. En effet, ce dernier n’acceptant que des tensions positives, il faut bien « décaler » et « proportionner » cette tension d’entrée, afin que celle-ci se retrouve dans la plage de mesure du µC. D’où l’intérêt d’un tel montage !

Exercice corrigé #4 : montage avec amplificateur opérationnel (AOP)

Voyons à présent un autre style de montage ! Ici, je vous propose un schéma intégrant un ampli op, tout ce qu’il y a de plus basique !

Mais rassurez-vous, car il n’y a pas de connaissances particulières à avoir sur cet AOP, pour appliquer le théorème de Millman. Et ce, malgré l’aspect potentiellement complexe de ce montage, si vous débutez en électronique :

Contrairement aux fois précédentes, nous n’allons pas appliquer le théorème de Millman en sortie, mais plutôt au point A. C’est d’ailleurs un bon exercice pour vous montrer que ce théorème peut être appliqué « n’importe où ». En fait, seul compte ce qu’on recherche exactement à déterminer, afin de déterminer en quel point il peut être utile et valide d’appliquer Millman.

But de l’exercice (partie 1/2) : appliquer le théorème de Millman au point A

Avant d’aller plus loin, il y a 2 ou 3 choses à dire, à propos du schéma ci-dessus :

• Le point A est relié à l’entrée « – » de l’ampli op ; la tension au point A est donc égale à cette entrée, notée V ^–
• La tension Ve est fixe ; elle vaut +5V
• Et, aussi surprenant que cela puisse paraître, il n’est pas nécessaire de s’y connaître en AOP pour connaître la tension de sortie ! (moyennant une donnée supplémentaire, que je vous « imposerai », par la suite)

Si on applique le théorème de Millman au point A, on trouve l’équation suivante :

Comme vous l’aurez remarqué, je n’ai pas pris en compte la « branche » qui part de A en direction de V^–. Et c’est parfaitement normal ! Car comme indiqué sur le schéma, le courant entrant dans cette entrée V^– est nul. Donc, il faut ne pas considérer cette branche, et tout simplement faire comme si elle n’existait pas. Et donc, l’exclure lors de l’écriture de « l’équation de Millman », au point A.

But de l’exercice (partie 2/2) : calculer la valeur de Vs, lorsque V^– = V⁺ (qui est égal à 0 volt)

Du fait que nous connaissons toutes les valeurs du circuit (Ve = 5V, V^– = 0V, R1 = 1k, et R2 = 2,2k), on peut alors reprendre l’équation trouvée précédemment, et calculer la valeur de Vs.

Ainsi, on constate que cet amplificateur opérationnel permet d’obtenir du -11V en sortie Vs, lorsqu’on applique une tension de +5V en entrée. C’est donc un « ampli inverseur ».

Du reste, je ne m’étendrai pas plus sur l’amplificateur opérationnel employé ici, car il n’était là que pour illustrer l’utilisation du théorème de Millman !

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Exercice corrigé #5 : filtre passe bas de 2ème ordre (avec condensateurs et calculs d’impédance)

Un dernier exercice d’application du théorème de Millman, mais cette fois-ci, « sans » sources de tensions apparentes. Et qui plus est, en courant alternatif !

Pour ce faire, prenons en support ce filtre RC du deuxième ordre :

But de l’exercice : appliquer le théorème de Millman au point A ainsi que la formule du pont diviseur de tension en Vs ; puis déterminer la fonction de transfert de ce filtre (Vs/Ve, donc)

Avant tout ici, comme nous allons travailler avec un signal sinusoïdal en entrée, il va donc falloir parler « d’impédance » des éléments. Et pour rappel :

• L’impédance d’une résistance R vaut R
• L’impédance d’un condensateur C vaut 1 / jCw (avec j « l’unité complexe », et w la pulsation du signal d’entrée, égale à 2 * Pi * f ; avec f = fréquence du signal d’entrée)

Alors, pour appliquer Millman au point A, il faut considérer les 3 branches reliées à lui, à savoir :

• La branche à gauche du point A (avec sa résistance R en chemin, et Ve comme source de tension de cette branche)
• La branche descendant au bas du point A (avec le condensateur C en chemin, et relié à la masse, soit 0V, comme source de tension de cette branche)
• Et la branche à droite du point A (avec la résistance R en chemin, et Vs comme source de tension de cette branche)

Selon le théorème de Millman, nous pouvons donc écrire cette équation suivante, à partir des 3 branches ci-dessus :

Avec Z_R l’impédance des résistances et Z_C l’impédance du condensateur. Nota : pour être parfaitement rigoureux, il faudrait noter toutes les valeurs Va, Ve, et Vs en notation complexe (c’est à dire de manière « soulignée », comme fait de manière usuelle, en physique).

On peut à présent remplacer les impédances par leurs « valeurs », c’est à dire : Z_R par R, et Z_C par 1 / jCw.

Remarque : comme l’impédance d’un condensateur Zc vaut 1 / jCw, et que dans Millman on se sert de 1 / Zc, il faut donc bien comprendre que 1 / Zc = 1 / 1 / jCw, d’où 1 / Zc = jCw.

Nous obtenons ainsi une équation donnant Va en fonction de Ve et Vs. Mais comme nous souhaitons au final une formule exprimant Vs en fonction de Ve, il va donc falloir « éliminer » Va, à présent.

Cela peut se faire très simplement, en exprimant Va en fonction de Vs. Ainsi, en réinjectant cela dans l’équation précédente, nous pourrons alors faire disparaître Va, et laisser « que du Vs » en fonction de Ve. Pour ce faire, nous allons à présent appliquer la formule du pont diviseur de tension, en sortie (en prenant uniquement en compte la résistance et le condensateur tout à droite du schéma, donc). Car cela permet d’obtenir la « fameuse » équation Va en fonction de Vs, qui nous manque :

Du coup, en fusionnant ce dernier résultat avec l’expression du théorème de Millman trouvée un peu plus haut (donnant Va en fonction de Ve et Vs), nous obtenons :

On peut du coup en déduire la fonction de transfert de ce filtre (H), correspondant à Vs / Ve :

On remarque ainsi qu’il s’agit bel et bien ici d’un filtre passe bas du 2ème ordre, avec pour fréquence propre ` f_(0) = frac(1)(2\piRC) `. Comme quoi, le théorème de Millman est vraiment utilisable dans bon nombre d’endroits, ce qui en fait un outil tout particulièrement de choix, pour nous, électroniciens !

Théorème de Millman : conclusion !

Voilà ! Je pense que nous avons fait le tour des bases à connaître au sujet du théorème de Millman, au travers de nombreux exemples concrets.

Perso, je vous encourage à vraiment connaître « par coeur » ce théorème, car il vous sera particulièrement utile en électronique. En fait, c’est le genre d’outil mathématique qui fait gagner énormément de temps ! Alors autant ne pas s’en priver 😉

Du reste, j’espère en tout cas que tout ce contenu vous servira au maximum, le jour où vous en aurez besoin ! Bien évidemment, tout n’a pas été abordé ici, et bon nombre de choses ont été simplifiées « au passage », afin d’en faire faciliter la compréhension. Mais je pense que l’essentiel y est ! Voili voilou !

À bientôt.
Jérôme.

À découvrir aussi : tout un ensemble de bases à connaître en électronique !

JEROME

Passionné par tout ce qui touche à l'électronique, sans toutefois en être expert, j'ai à coeur de vous partager ici, peu à peu, tout ce que j'ai appris, découvert, réalisé, et testé jusqu'à présent ! En espérant que tout cela puisse vous servir, ainsi qu'au plus grand nombre !

(*) Mis à jour le 14/01/2024